Сначала проверим, не являются ли все числа уже различными. Если это так — ответ 0.

Теперь пусть $$$k = 0$$$. Тогда при замене поддерева на другое будет 2 идентичных поддерева, поэтому сделать все числа различными не получится.

Иначе сделаем так: сначала заменим поддерево левого сына корня на любой лист справа. Потом заменим поддерево правого сына корня на значение в левом сыне, проксоренном с $$$k$$$. Так как $$$k \neq 0$$$, значения будут различными. Таким образом, всегда есть конструкция за 2 операции, а следовательно ответ на задачу не больше 2.

Осталось проверить, возможно ли решить задачу за 1 операцию. Зафиксируем поддерево, которое мы хотим поменять. Его оптимально заменить на лист вне поддерева. Теперь задача звучит так: существует ли такое поддерево, что если рассмотреть все значения вне него, то они все различные и найдётся такое число $$$x$$$ среди них, что $$$x \oplus k$$$ нет среди значений. Будем поддерживать множества значений и значений, проксоренных с $$$k$$$. Если в множествах все значения различны, а также они не равны, то такой $$$x$$$ найдётся. Оба условия можно поддерживать при добавлении и удалении значения за $$$O(1)$$$, если предварительно сжать значения $$$a_v$$$ и $$$a_v \oplus k$$$.

Теперь разберёмся, как перебирать поддеревья. Будем делать dfs и добавлять сначала все значения левого поддерева и спускаться в правое, потом удалять все значения левого поддерева, добавлять все значения правого поддерева и спускаться в левое дерево, затем удалять все значения правого поддерева. Поскольку у нас полное двоичное дерево на $$$2^n$$$ вершинах, такой dfs будет делать $$$O(n 2^n)$$$ добавлений и удалений, которые работают за $$$O(1)$$$, следовательно время работы составляет $$$O(n 2^n)$$$.