Армагеддон

Рассмотрим три возможных случая.

1) Если Магнусу требуется строго меньше времени, чем Хикару, то он гарантированно выигрывает. Для победы Магнус должен сделать ставку $$$k_2$$$ минут $$$s_2$$$ секунд — ровно то время, которое ему нужно для успешной игры за черных. В этом случае мы выводим -1 и завершаем работу программы.

2) Если Хикару требуется строго меньше времени, чем Магнусу, то он гарантированно выигрывает. Для победы Хикару должен сделать ставку $$$k_1$$$ минут $$$s_1$$$ секунд — ровно то время, которое ему нужно для успешной игры за черных. В этом случае мы выводим $$$k_1$$$ $$$s_1$$$ и завершаем работу программы.

3) Если же Хикару и Магнусу требуется одинаковое время, то гарантировать себе победу не может ни один из игроков. А так как Магнус в этом случае гарантированно выиграть не может, то по условия мы должны вывести оптимальную ставку Хикару.

Оказывается, ставка Хикару должна быть на одну секунду меньше, чем $$$k_1$$$ минут $$$s_1$$$ секунд. То есть, если $$$s_1 > 0$$$, то ставка Хикару должна быть $$$k_1$$$ $$$s_1 - 1$$$, а иначе ставка Хикару должна быть $$$k_1 - 1$$$ $$$59$$$. Будем эту ставку называть предпочтительной. Ниже будет показано, почему предпочтительная ставка является оптимальной.

Если Хикару сделает предпочтительную ставку, а Магнус поставит строго больше, то играть за черных будет Хикару и времени у него будет как минимум $$$k_1$$$ минут $$$s_1$$$ секунд (ведь ставка Магнуса строго больше предпочтительной ставки) и он успешно сыграет за черных.

Если Хикару сделает предпочтительную ставку, а Магнус поставит строго меньше, то играть за черных будет Магнус и времени у него будет менее $$$k_1$$$ минут $$$s_1$$$ секунд, поэтому он не сможет успешно сыграть за черных и победа снова будет за Хикару.

Если Хикару сделает предпочтительную ставку и Магнус поставит столько же, то с равной вероятностью за черных будет играть Хикару или Магнус и каждый из них станет победителем с равной вероятностью. Обратите внимание, что Хикару не может гарантированно выиграть в этом случае, но он будет выигрывать с вероятностью $$$\frac{1}{2}$$$, а в данном случае это максимум, которого можно добиться.

Если Хикару сделает не предпочтительную ставку, то Магнус сможет победить сделав предпочтительную ставку. Действительно, если Хикару поставит больше, то Магнус будет играть за черных и ему хватит времени. Если же Хикару поставит меньше, то он будет играть за черных и ему не хватит времени.

Таким образом, игрокам выгодно сделать предпочтительную ставку. В таком случае они побеждают с вероятностью $$$\frac{1}{2}$$$. Если же только один игрок сделает предпочтительную ставку, то он гарантированно победит. То есть, вне зависимости от хода соперника каждому игроку выгодней сделать предпочтительную ставку.